Was ist Mathematik? Geschichte & Teilgebiete

Die Mathematik ist möglicherweise die älteste, wichtigste und edelste Wissenschaft überhaupt. Ihre immense Wichtigkeit bezieht sie aus der Tatsache, dass sie ein wesentliches Element vieler anderer Wissenschaftszweige ist, die ohne Mathematik keinen Bestand hätten. Als gutes Beispiel diene hier die Statistik, die es ohne Mathematik nicht gäbe, die aber in fast jeder Studie zu jedem beliebigen Thema in Erscheinung tritt. Dennoch ist die Frage nach dem Wesen der Mathematik nicht so einfach zu beantworten, ohne Betrachtung ihrer historischen Entwicklung schon gar nicht.

Was genau ist unter Mathematik zu verstehen?

Aus dem Altgriechischen übersetzt bedeutet Mathematik in etwa „Kunst des Lernens“ beziehungsweise „zum Lernen dazugehörig“. Ihr Ursprung liegt sicherlich in der Untersuchung geometrischer Figuren, was später in den Umgang und in das Rechnen mit Zahlen mündete. Es gibt heute keine wirklich allgemeingültige Definition der Mathematik. Aber es herrscht eine Tendenz dafür vor, die Mathematik als Wissenschaft zu beschreiben, die mittels logischer Definitionen abstrakte, selbst geschaffene Strukturen mit der ihr eigenen Logik auf Muster und Eigenschaften untersucht.

Dabei baut die Mathematik auf einigen wenigen Grundannahmen auf, die als Axiome bezeichnet werden. Axiome sind Aussagen, die ohne die Notwendigkeit eines Beweises gelten. Darauf aufbauend können alle anderen Aussagen hergeleitet und damit zugleich bewiesen werden. Es ist so, dass jede mathematische Theorie auf ihren eigenen Axiomen fußt, wobei einige Theorien direkt aufeinander aufbauen und daher voneinander abhängig sind, indem die Axiome einer (neuen) Theorie neue Art Ergänzung beziehungsweise Erweiterung bereits anderer bekannter Axiome darstellen. Ob die neue Theorie tatsächlich in allen Facetten stimmig und widerspruchslos ist, zeigt sich dann im Laufe ihrer Entwicklung.

In Fortentwicklung der Theorie können basierend auf den Axiomen weitere Aussagen abgeleitet werden. Diese werden als Sätze oder Theoreme bezeichnet. Im Ergebnis wird so ein ganzes Bündel von Sätzen hergeleitet, die insgesamt die mathematische Theorie ausmachen. Wenn bei Ihnen an dieser Stelle noch Fragen offengeblieben sind, stehen Sie nicht allein da. Es sollte eher als Ansporn zum Weiterlesen gewertet werden.

Die Geschichte der Mathematik

Wie eingangs erwähnt ist die Mathematik eine der ältesten Wissenschaften überhaupt. Nach aktuellem Kenntnisstand erlebte die Mathematik eine erste bereits vorantike Blüte in Mesopotamien, China und Indien. Danach entwickelte sie sich im antiken Griechenland und im Hellenismus weiter. Schon aus dieser Zeit stammen die Aufgabenstellung des „rein logischen Beweises“ sowie die Anfänge der Axiomatisierung, deren bestes Beispiel die euklidische Geometrie darstellt. Die Wissenschaften des Mittelalters waren dann von zwei wesentlichen Strömungen geprägt: Die arabische Welt stand dem frühen Humanismus der Universitäten gegenüber und in beiden Umfeldern konnte sich die Mathematik behaupten.

François Viète war es, der als Erster Variablen einführte, und René Descartes verwendete ein Koordinatensystem, um die Geometrie der Berechnung zuzuführen. Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz beschäftigten sich mit den sogenannten Fluxionen, dabei handelt es sich um Änderungsraten. Tangenten an Flächen und Kurven im Verein mit der Berechnung beliebiger Flächeninhalte, was damals als Quadratur bezeichnet wurde, liefen schließlich auf die Infinitesimalrechnung hinaus. Newtons Gravitationsgesetz und seine Auffassung der Mechanik bildeten eine wesentliche mathematische Grundlage für die folgenden Jahrhunderten.

Die zunehmend komplizierter werdenden algebraischen Gleichungen brachten die Denkweise von Évariste Galois und Niels Henrik Abel hervor, die sich mit dem mathematischen Begriff der Gruppe auseinandersetzten, um die Beziehungen von Symmetrien eines Objekts beschreiben zu können. Die Weiterentwicklung dieser Ansätze führte schließlich zu einer neuen Algebra und damit zur algebraischen Geometrie.

Die Entstehung der klassischen Wahrscheinlichkeitsrechnung geht auf das Jahr 1654 zurück. Damals gab es einen Briefwechsel zwischen Pierre de Fermat und Blaise Pascal, die mit Enthusiasmus ein eigentlich schon älteres Problem diskutierten. Die im Rahmen dieser historischen Konversation geäußerten Ideen und Verfahren kamen sodann auf immer mehr Gebieten zu fruchtbarer Anwendung.

Der Erfolg der Methode war so enorm, dass es im Nachgang über Jahrhunderte hinweg zu Aufspaltung und Untergliederung der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie in verschiedene Schulen kam. Der Begriff der Wahrscheinlichkeit wurde versucht, in immer neuen Facetten zu definieren, bis schließlich im Jahre 1933 Andrei Kolmogorow das Lehrbuch "Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung" veröffentlichte, das heute als ein wesentliches Fundament der modernen Wahrscheinlichkeitstheorie anzusehen ist.

Durch die Arbeiten von Karl Weierstraß und Augustin-Louis Cauchy wurde die Infinitesimalrechnung im Verlauf des 19. Jahrhunderts auf ein hohes Podest gehoben. Am Ende des 19. Jahrhunderts entwickelte Georg Cantor die Mengenlehre, die einerseits schnell eine begeisterte Anhängerschar fand, andererseits aber im Sinne der Wissenschaft auch auf extreme und nachhaltige Ablehnung stieß.

 

In der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts wurde die Mathematik wesentlich durch David Hilbert beeinflusst, der gleich eine ganze Liste von 23 mathematischen Problemen zur Diskussion stellte. Eines davon war sein Versuch, die Mathematik einer vollständigen Axiomatisierung zuzuführen. Parallel dazu wurde eine Art totale Abstraktion immer mehr in den Vordergrund geschoben, wobei alle Objekte auf ihre wesentlichsten Eigenschaften reduziert werden sollten. Daraus entwickelten sich schließlich:

  • Die Grundlagen der modernen Algebra von Emmy Noether
  • Die allgemeine Topologie zur Untersuchung topologischer Räume von Felix Hausdorff
  • Der Banachraum der Funktionalanalysis von Stefan Banach
  • Die Kategorientheorie als übergeordnete Abstraktionsebene zur Bewertung ähnlicher Konstruktionen verschiedener Bereiche der Mathematik von Saunders Mac Lane und Samuel Eilenberg.

Die verschiedenen Felder der Mathematik

Die Mathematik besteht heute im Wesentlichen aus den vier Kerngebieten: 

  • Logik und Mengenlehre
  • Algebra
  • Analysis
  • Topologie

Innerhalb dieser vier Gebiete lassen sich die folgenden Themenbereiche einordnen:

  • Algebraische Geometrie
  • Algebraische Topologie und Differentialtopologie
  • Darstellungstheorie
  • Differentialgeometrie
  • Diskrete Mathematik
  • Experimentelle Mathematik
  • Funktionalanalysis
  • Geomathematik
  • Geometrie
  • Gruppentheorie
  • Kommutative Algebra
  • Komplexe Analysis
  • Lie-Gruppen
  • Numerische Mathematik
  • Philosophie der Mathematik
  • Wahrscheinlichkeitsrechnung
  • Zahlentheorie

Mathematik der Gegenwart

Als Beispiel eines Arbeitsfeldes der gegenwärtigen Mathematik wollen wir den Namen Grigori Perelman aufgreifen. Grigori Jakowlewitsch Perelman wurde am 13. Juni 1966 in Leningrad geboren und hat Bahnbrechendes insbesondere in der Topologie geleistet. Im Jahr 2002 ist es ihm gelungen, die Poincaré-Vermutung zu beweisen. Damit hat Perelman immerhin eines der Millennium-Probleme gelöst, für das er ein Preisgeld in Höhe von einer Million Dollar erhalten sollte. Sowohl das Geld als auch die ihm im Jahre 2006 zugesprochene Fields-Medaille lehnte er aber ab. Seit vielen Jahren lebt Perelman sehr zurückgezogen in Sankt Petersburg.